Cube & Cuboid

Questions - 1 A cube has edges of length 1 cm and has a dot marked in the centre of top face . The
                      cube is sitting on a flat table. The cube is rolled , without lifting on slipping , in one
                      direction so that at least two of its vertices are always touching the table. The cube is
                       Rolled until the dot is again on the top of the face . Find the length of path  traveled
                      by the dot.
                      1  सेमी भुजा वाले घन के ऊपरी सतह के केन्द्र पर डॉट  का निशान है घन को फ्लैट टेबल पर रखा गया
                       है। घन को बिना ऊठाये हुए एक नश्चित दिशा में , इस तरह घुमाया जाता है कि इसके दो कोनो हमेशा
                        टेबल को स्पर्श करे।इसको तब तक घुमाया जाता है कि डॉट का निशान पुन: ऊपरी सतह पर अा जाता
                        है।तो डॉट के द्वारा तय की गयी दूरी ज्ञात करो।
                 
                   (A) π                 (B) 2π                     (C)  (√5+1) /2π                          (D) (√5+1)π/ 2

Solution - (D)
                             Let the side of cube = a
                             Length of Path = (2π/4 √[ a^2+ (a/2)^2 + 2π/4×a/2 )×2 
                                                 = 2π/4(1/2√5×a + a/2 ) × 2
                                                 = π/2( (√5+1)a
                              Here a = 1 cm
                              so , Length = (√5+1)π/ 2 cm


 Questions - 2  An ant started from one of the bottom corner of the cube with side 'a' 
                         reaches the corner just above the starting corner by taking one complete 
                         turn around the cube . Find the minimum distance travelled by ant.
                        एक चींटी 'a' भुजा के घन के किसी कोने से चलना शुरू करती है अौर  घन का पुरा चक्कर लगाने
                            के बाद  शुरूअाती कोने के ठीक ऊपर वाले कोने पर पहुंच जाती है। तो चींटी द्वारा तय न्यूतम दूरी
                             ज्ञात करो।
                         
                           (A) 2√2a            (B)   a             (C)       4a+√2a             (D)  √17a
Solution :-  (D)
                          Distance travelled by ant = √{a² + (4a)²}
                                                                   = √17a


  Questions - 3 There is a cubical chocolate cake of side 8 cm. An ant at mid of one of the
                         faces started eating a circular area of radius is 1 cm and comes out at the
                         other fcae and find the total surface area of the remaining cake.
                         8 सेमीं भुजा का  घनाकार केक है।एक चींटी ऊसके बिचों बीच १ सेमीं त्रिज्या का व्रताकार क्षेत्र खाली
                             हुई दुसरी पार निकल जाती है तो शेष घन का सम्पूर्ण क्षेत्रफल  ज्ञात करो।
                         
                          (A) 240 cm²        (B) 340 cm²       (C) 380 cm²            (D) 280 cm²

 Solution :-  (B)
                           Now

                                      TSA = 6(a)² - 2×πr² + 2πrh

                                          = 6×64 - 2π×1×8
                                          = 6×64 - 2π +16π
                                          = 384 - 14π
                                          = 384 - 44
                                          = 340 cm²